C'est la Vie – comme ci comme ça

April 24, 2012

（Wave-01）纳维方程

Filed under: Study and Work — hitzws @ 10:18 PM

$(\lambda + \mu)\nabla\theta + \mu\nabla^2\mathbf{u} + \rho\mathbf{f} = \rho\dfrac{\partial^2u}{\partial t^2}$

位移矢量场方程，也称之为纳维方程，包含了弹性力学所依据的力学、几何学和物理学三方面的条件，分别为：

1、表示物体内每个微分体的运动方程；
2、变形的几何要素 $\mathbf{u}$ 和 $\theta$ ；
3、确定物体的弹性和密度的参数 $\lambda, \mu, \rho$ 。

式中 $\theta = \nabla\cdot\mathbf{u}$ ，即体积应变。对上式两边取散度，可将方程最终化为：

$v_p^2\nabla^2\theta + \nabla\cdot\mathbf{f} = \dfrac{\partial^2\theta}{\partial t^2}$

该式为传播速度为 $v_p$ 的无旋场的非齐次波动方程；胀缩扰动以速度 $v_p$ 传播，称之为胀缩波或弹性纵波。

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April 15, 2012

Protected: （Piezo-13）高频情况下的剪力滞解

Filed under: Study and Work — hitzws @ 10:44 PM

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March 24, 2012

（Piezo-12）驱动器与结构之间的动力耦合模型

Filed under: Study and Work — hitzws @ 2:41 PM

其一，驱动器质量很小，其惯性力很小；其二，驱动器的谐振频率远高于结构的自振频率，因此其动力效应可以忽略。在本模型中，前文推导的静力模型用于讨论其对结构动力特性的影响。该工作主要分两个步骤：1、用常规的方法得到结构的动力模型；2、通过计入应变或作用力考虑驱动器的影响。由于结构动力模型更容易与力相耦合，因此后者更好一些。在本工作中，将用单一模态Rayleigh-Ritz模型对悬臂梁建模。

表面粘贴驱动器的动力响应

驱动器通过有限厚度的粘结层附于结构表面，其作用在结构上的力表面剪力，在梁的Rayleigh-Ritz运动方程中，驱动器的作用通过模态力Q出现在方程中：

$Q = \int^{(\bar{a}+\bar{m})}_{(\bar{a}-\bar{m})} \tau b t_B \bar{\varphi'}\mbox{d}\bar{x}$ （31）

上式中唯一的未知数是PZT施加在结构上的剪应力 $\tau$ ，见式（15）。

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March 23, 2012

Task – 23/03/2012

Filed under: Study and Work — hitzws @ 1:53 PM

准备试验；
读相关paper；
写PCA文章；
写希腊合作项目申请书；
学生课题；
某项目可行性论证PPT；
SSI书稿。

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March 21, 2012

（Piezo-11）考虑胶层的驱动器建模 – 嵌入式

Filed under: Study and Work — hitzws @ 7:15 PM

目前所用的环氧树脂基复合材料，层间粘结层大约为5个纤维直径的量级，约1 $\mu m$ ，对应的 $\Gamma$ 值大约为1000左右，这样粘结层的影响完全可以忽略，因此，可以假设驱动器完美结合于材料内部，驱动器应变与外部结构相吻合。根据施加电场的方向的不同，驱动器可引起结构伸缩或弯曲变形，下面详细推导弯曲情况，伸缩情况概述。

在以下分析中，驱动器和周围结构仍假设为Bernoulli-Euler弯曲模型，与前述表面粘贴式不同，这种情况下，PZT上下表面的应变均与外部结构一致，因此，PZT内部的应变是线性变化的。在此假设下，平衡方程为：

$\sigma_B = \dfrac{M_0 z}{I_{EQ}} + \dfrac{M_K z}{I_{EQ}}$ （21）
$\sigma_C = \dfrac{6\Delta F}{bt^2_C}(z-z_M)+\dfrac{\bar{F}}{b t_C}$ （22）

式中 $M_K$ 是由于荷载或变形导致的纵向变化的弯矩，而不是PZT引起的。 $\bar{F} = (F_1 + F_2)$ 和 $\Delta F = (F_1 - F_2)$ 分别为施加在PZT内外端部集中点上的荷载之和和差。

式（21）是已知弯矩计算结构应力的基本公式。式（22）的计算可以将作用在PZT上的F1和F2分解为三个分力，一是上下均有F1方向向外，对称作用在PZT两端，二是上下均有 $\Delta F/2$ 方向向外，作用在PZT两端，三是上面有 $\Delta F/2$ 方向向外，而下面方向向内，作用在PZT两端。这样，一和二的为纯拉伸，引起的应力合在一起为 $\frac{\bar{F}}{bt_C}$ ；三为纯弯曲，截面内力只有弯矩，引起的应力为 $\frac{6\Delta F}{bt^2_C}(z-z_M)$ ，两者相加即为式（22）。

$M_0$ 为PZT施加在结构上的弯矩，等于

$M_0 = 2\left[\Delta F \dfrac{t_C}{2} + \bar{F}z_M\right]$ （23）

假设层合结构类似于具有有效弯曲模量 $E_B$ 的梁，其应力应变关系与式（6）和（7）中给出的相同。让内表面 $z = (z_M - t_C/2)$ 和外表面 $z = (z_M + t_C/2)$ 处结构与PZT应变相等，代入应力应变关系式（6）和（7）中，平衡方程（21-23）给出了 $\bar{F}$ 和 $\Delta F$ 的表达式

$\bar{F} = \dfrac{-12(M_k/t_C)\theta_z}{24\theta^2_Z + \psi \theta^2_B \bar{I} +2} - \dfrac{2E_C t_C b + E_B t_B b \theta^2_B \bar{I}}{24\theta^2_B + \psi\theta^2_B\bar{I}+2}\Lambda$ （24）
$\Delta F = \dfrac{-2(M_k/t_C)}{24\theta^2_Z + \psi \theta^2_B \bar{I} +2} + \dfrac{4E_C t_C b \theta_z}{24\theta^2_B + \psi\theta^2_B\bar{I}+2}\Lambda$ （25）

上述两式可代回前面的平衡方程并求解得到应变。

与表面粘贴式类似，为了将嵌入式驱动器模型与结构变形相耦合，纵向变化的弯矩 $M_k$ 可以表达为应变 $\varepsilon^{S+}_B$ 和 $\varepsilon^{S-}_B$ 的函数：

$M_k = \dfrac{-I_{EQ}E_B}{t_B}(\varepsilon^{S+}_B + \varepsilon^{S-}_B) - \dfrac{I_{EQ}E_B}{t_B}(\varepsilon^{S+}_B - \varepsilon^{S-}_B)\bar{x}$ （26）

将式（24-26）代入梁的平衡方程式（21）中，再代入应力应变关系式（7），在驱动器和周围材料上的应变为：

$\varepsilon_B = \varepsilon_C = \dfrac{2\psi\theta_B\bar{I}(z/t_C)}{24\theta^2_Z + \psi \theta^2_B \bar{I} +2}(\dfrac{\varepsilon^{S+}_B + \varepsilon^{S-}_B}{2} + \dfrac{\varepsilon^{S+}_B 2 \varepsilon^{S-}_B}{2}\bar{x}) + \dfrac{24\theta_z(z/t_C)}{24\theta^2_z + \psi\theta^2_B\bar{I}+2}\Lambda$ （27）

将式（24-26）代入（23）可得到施加在PZT端部的弯矩：

$\dfrac{M_0}{E_B t^2_B b} = \dfrac{(12\theta^2_z+1)\bar{I}}{3(24\theta^2_Z + \psi \theta^2_B \bar{I} +2)}(\dfrac{\varepsilon^{S+}_B + \varepsilon^{S-}_B}{2} + \dfrac{\varepsilon^{S+}_B 2 \varepsilon^{S-}_B}{2}\bar{x}) - \dfrac{2\theta_z\theta_B\bar{I}}{24\theta^2_z + \psi\theta^2_B\bar{I}+2}\Lambda$ （28）

应变与弯矩的结果与表面粘贴式类似，有些项依赖于边界条件处的结构的应变，有些项依赖于施加在PZT上的电压。

对于拉伸的情况，可以进行类似的分析，最终应变为：

$\varepsilon_C = \varepsilon_B = \dfrac{\bar{E}(\theta_B - 2)}{2 + \bar{E}(\theta_B - 2)}(\dfrac{\varepsilon^+_B + \varepsilon^-_B}{2} + \dfrac{\varepsilon^+_B - \varepsilon^-_B}{2}\bar{x}) + \dfrac{2}{2 + \bar{E}(\theta_B - 2)}\Lambda$

在PZT两端的力为：

$\dfrac{F}{E_B t_B b} = \dfrac{-(\theta_B - 2)}{2\theta_B + \bar{E}(\theta_B - 2)\theta_B}(\dfrac{\varepsilon^+_B + \varepsilon^-_B}{2} + \dfrac{\varepsilon^+_B - \varepsilon^-_B}{2}\bar{x}) - \dfrac{(\theta_B - 2)}{2\theta_B + \bar{E}(\theta_B - 2)\theta_B}\Lambda$

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March 18, 2012

（Piezo-10）考虑胶层的驱动器建模 – 表面粘贴情况

Filed under: Study and Work — hitzws @ 5:34 PM

如图所示，两个PZT片通过有限厚度的胶层粘结在一个弹性结构的上下表面，图中粗箭头的方向是引起PZT横向变形的电场方向。如果电场同时作用于两个PZT片，结构将发生伸缩变形，如果电场只作用于其中一个PZT片，结构会发生弯曲变形。

下面导出整个结构的控制方程。取图中微单元 $dx$ （虚线框中），假设胶层只受一维纯剪切作用，而PZT和结构只有纯伸缩方向的应变，那么应变-位移关系为：

$\varepsilon_C = \dfrac{\mbox{d}u_C}{\mbox{d}x} = u^\prime_C$ （1）
$\varepsilon^s_B = \dfrac{\mbox{d}u_B}{\mbox{d}x} = u^{s\prime}_B$ （2）
$\gamma = \dfrac{u_C-u^s_B}{t_S}$ （3）

如果PZT的激励引起结构的弯曲，可假设结构中的应变为Bernoulli-Euler线性应变分布，如果PZT引起结构伸缩，相应可假设应变分布为均匀分布。这两种情况中，PZT端部应力为零，那么其沿厚度方向的应力也为均匀应力。由上述假设，虚线区域内微元体的平衡方程为：

$\dfrac{\mbox{d}\sigma_C}{\mbox{d}x} - \dfrac{\tau}{t_C} = 0$ （4）
$\dfrac{\mbox{d}\sigma^s_B}{\mbox{d}x} + \dfrac{\alpha\tau}{t_B} = 0$ （5）

注：式（4）实际由PZT微元体上的力平衡得到，式（5）实际由结构微元体上的力矩平衡得到。

式（5）中 $\alpha$ 取值依赖于梁，即结构中的应变分布，如果纯拉伸， $\alpha = 2$ ，如果纯弯曲 $\alpha = 6$ 。式（2）和（5）中的上角标s代表结构表面。

PZT的应力应变关系与材料的热应力相似，将热应变项用压电应变代替即可 $d_{31}V/t_c = \Lambda$ ，即：

$\sigma_C = E_C\left(\varepsilon_C - \dfrac{d_{31}V}{t_C}\right) = E_C(\varepsilon_C - \Lambda)$ （6）
式中 $d_{31}$ 为压电常数。对于结构和胶层，其应力应变关系为：

$\sigma^s_B = E_B\varepsilon^s_B$ （7）
$\tau = G\gamma$ （8）

式（1）-（8）是有8个未知量的8个控制方程，8个未知量分别为PZT、胶层和板的应力与应变，以及PZT和板的位移。将式（3）代入式（8），再代入式（4）和（5），再将（1）、（2）、（6）和（7）微分并带入最后可得到两个耦合的二阶微分方程，并能够进一步简化为一对解耦的四阶微分方程：

${\varepsilon^s_B}^{IV} - \Gamma^2 {\varepsilon^s_B}' = 0$ （9）
${\varepsilon_C}^{IV} - \Gamma^2 {\varepsilon^s_C}' = 0$ （10）
式中的微分是对于无量纲坐标 $\tilde{x}$ 。同时，定义剪力滞系数和结构与PZT刚度比为：

$\Gamma^2 = \dfrac{\bar{G}\theta_S}{\bar{t^2_S}}\left(\dfrac{\psi+\alpha}{\psi}\right)$ （11）
$\psi = \dfrac{E_B t_B}{E_C t_C} = \bar{E}\theta_B$ （12）

式（10）推导过程如下：

将式（3）代入式（4）和（5）： $\sigma_C' - \frac{G(u_C - u_B)}{t_S t_C} = 0$ （a）， $\sigma_B' + \frac{\alpha G(u_C - u_B)}{t_S t_B} = 0$ （b）
对式（4）和（5）微分： $\sigma_C'' - \frac{G(\varepsilon_C - \varepsilon_B)}{t_S t_C} = 0$ （c）， $\sigma_B'' + \frac{\alpha G(\varepsilon_C - \varepsilon_B)}{t_S t_B} = 0$ （d）
将（1）、（2）、（6）和（7）代入上两式中： $E_C\varepsilon_C'' - \frac{G}{t_S t_C}\varepsilon_C + \frac{G}{t_S t_C}\varepsilon_B = 0$ （e）， $E_B\varepsilon_B'' + \frac{\alpha G}{t_S t_C}\varepsilon_C + \frac{G}{t_S t_C}\varepsilon_B = 0$ （f）
将上两式合并消去 $\varepsilon_B$ 得到： $\frac{t_C}{t_B}\alpha E_C \varepsilon_C'' + E_B \varepsilon_B'' = 0$ （g）
将式（e）再二次微分得到 $\varepsilon_B''$ 的表达式 $\varepsilon_B'' = \varepsilon_C'' - \frac{E_C {\varepsilon_C}^{IV}t_S t_C}{G}$ （h）
将式（h）代入（g）中得到： $\frac{t_C}{t_B}\alpha E_C \varepsilon_C'' + E_B \varepsilon_C'' - \frac{E_B E_C {\varepsilon_C}^{IV}t_S t_C}{G}= 0$
即 $\frac{E_B E_C t_S t_C}{G}{\varepsilon_C}^{IV} - (\frac{\alpha t_C E_C}{t_B} + E_B) \varepsilon_C' = 0$
整理得到 ${\varepsilon_C}^{IV} - (\frac{\alpha G t_C E_C}{t_B t_S t_C E_B E_C} + \frac{G E_B t_B}{E_B E_C t_S t_C t_B})\varepsilon_C'' = 0$
最终，将 $\varepsilon_C''$ 的系数重新定义如式（11）和（12）所示，可以得到式（10）；式（9）可以用类似的方法得到。

尽管四阶微分方程式（9）和（10）是解耦的，但是他们的解实际上仍以下面二阶微分等式的形式耦合。求解式（9）和（10）得到PZT和结构中的应变分布：

$\varepsilon_C = B_1 + B_2\bar{x} + \dfrac{\psi}{\alpha}B_3\mbox{sinh}\Gamma\bar{x} - \dfrac{\psi}{\alpha}B_4\mbox{cosh}\Gamma\bar{x}$
$\varepsilon^S_B = B_1 + B_2\bar{x} + B_3\mbox{sinh}\Gamma\bar{x} + B_4\mbox{cosh}\Gamma\bar{x}$
即：
$\left[ \begin{array}{c} \varepsilon_C \\ \varepsilon^S_B \end{array}\right] = \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}\right]B_1 +\left[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}\right]B_2\bar{x} + \left[\begin{array}{c} \frac{\psi}{\alpha} \\ 1 \end{array}\right]B_3 \mbox{sinh}\Gamma\bar{x} + \left[\begin{array}{c} \dfrac{-\psi}{\alpha} \\ 1 \end{array}\right]B_4 \mbox{cosh}\Gamma\bar{x}$ （13）

式（9）和（10）形式的四阶微分方程的解法：其特征方程为 $z^4 - \Gamma^2 z^2 = 0$ ，特征方程的解为： $z_1 = 0, z_2 = 0, z_3 = \Gamma, z_4 = -\Gamma$ 。于是，微分方程的解为： $x = C_1 + C_2 x + C_3 e^{\Gamma x} + C_4 e^{-\Gamma x}$ ，式（13）应该由上述解法得到。然后就是利用边界条件来得到四个未知系数。【Matlab的微分方程解法：syms L, D1 = dsolve(‘D4y – L^2*D2y = 0′)】

可以用四个应变的边界条件来确定四个未知量。需要指出的是压电应变项 $\Lambda$ 没有出现在式（13）中，但通过边界条件可以出现在解中。粘贴在结构上的一段PZT两端的应力为零，亦即 $\varepsilon_C = \Lambda$ ，而在PZT端部对应的结构的点上的应变不为零，为一任意大小的非零应变。在以上假设下，边界条件为：

$\bar{x} = +1: \varepsilon_C = \Lambda,~~\varepsilon^S_B = \varepsilon^{s+}_B$
$\bar{x} = -1: \varepsilon_C = \Lambda,~~\varepsilon^S_B = \varepsilon^{s-}_B$
上式中 $\varepsilon^{s+}_B$ 和 $\varepsilon^{s-}_B$ 为在PZT左端和右端部的已知的结构应变值。

将上述边界条件代入式（13）得到未知的常数如下：

$B_1 = \dfrac{\psi}{\psi+\alpha}(\dfrac{\varepsilon^{s+}_B + \varepsilon^{s-}_B}{2} + \dfrac{\alpha\Lambda}{\psi})$ （14a）
$B_2 = \dfrac{\psi}{\psi+\alpha}(\dfrac{\varepsilon^{s+}_B - \varepsilon^{s-}_B}{2})$ （14b）
$B_3 = \dfrac{\alpha}{(\psi+\alpha)\mbox{sinh}\Lambda}(\dfrac{\varepsilon^{s+}_B - \varepsilon^{s-}_B}{2})$ （14c）
$B_4 = \dfrac{\alpha}{(\psi+\alpha)\mbox{cosh}\Lambda}(\dfrac{\varepsilon^{s+}_B + \varepsilon^{s-}_B}{2} - \Lambda)$ （14d）

式（14c）有误，分母应为： $(\psi-\alpha)$

为方便将此部分静力模型与后续的动力模型合并，最理想的办法是得到PZT作用到结构上的力的显式表达式。因此，将式（13）和（14）代入式（1）和（2）得到 $u_C'$ 和 ${u^S_B}^{''}$ 的表达式，积分后代入式（3），然后再代入式（8）得到：

$\dfrac{\tau}{E_B} = \dfrac{\bar{G}}{\bar{t_S}\bar{E}\Gamma}\left[\dfrac{\varepsilon^{S+}_B - \varepsilon^{S-}_B}{2}\dfrac{\mbox{cosh}\Gamma\bar{x}}{\mbox{sinh}\Gamma}+(\dfrac{\varepsilon^{S+}_B + \varepsilon^{S-}_B}{2}-\Lambda)\dfrac{\mbox{sinh}\Gamma\bar{x}}{\mbox{cosh}\Gamma}\right]$ （15）

至此，得到了PZT和板上应变的解，以及胶层中应力的解。可以看出，上述应变值[式（13）和（14）]和应力值[式（15）]依赖于结构在PZT边缘处的应变（ $\varepsilon^{S+}_B$ 和 $\varepsilon^{S-}_B$ ）以及施加在PZT上的电压（ $\Lambda = d_{31}V/t_C$ ）。依赖于 $\varepsilon^{S+}_B$ 和 $\varepsilon^{S-}_B$ 的项仅代表通过粘结层所施加的被动刚度，可以通过常规分析建模。而新的影响，应变的能力或主动施加应力到结构上，被依赖于 $\Lambda$ 的项所代表。为了更清晰的图示上述的分析结果，将应变边界条件 $\varepsilon^{S+}_B$ 和 $\varepsilon^{S-}_B$ 设为零，式（13）和（15）简化为：

$\left[\begin{array}{c} \dfrac{\varepsilon_C}{\Lambda} \\ \dfrac{\varepsilon^S_B}{\Lambda}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} 1\\1 \end{array}\right]\dfrac{\alpha}{\psi+\alpha} - \left[\begin{array}{c}\dfrac{-\psi}{\alpha} \\1 \end{array}\right]\dfrac{\alpha}{(\psi+\alpha)\mbox{cosh}\Gamma}\mbox{cosh}\Gamma\bar{x}$ （16）
$\dfrac{\tau}{E_B} = \dfrac{-\bar{G}}{\bar{t_S}\bar{E}\Gamma}(\dfrac{\mbox{sinh}\Gamma\bar{x}}{\mbox{cosh}\Gamma})\Lambda$ （17）

针对不同的 $\Gamma$ 值， $\psi$ 取值14.5， $\alpha$ 取值6（上述值表示铝板厚为PZT的10倍，并且是板为弯曲变形），将式（16）的计算结果绘于图中。式（11）中的 $\Gamma$ 是无量纲剪力滞参数，表示剪力传递的效率，主要受粘结层的刚度和厚度影响。随着粘结层剪切模量G的增加或粘结层厚度的减小而增大，剪力滞效应重要性降低，剪力有效地传递给靠近PZT端部的更小区域。【意思是，粘结层刚度越大或厚度越小，剪力传递约有效，PZT端部的小片区域也易受到影响。】

注：在上述计算中， $\Gamma$ 受三种材料的厚度与刚度的影响，在式（11）中的参数 $\bar{t}_S$ 据文中说是对结构长度的归一化，此处可能有误，根据计算分析结果表明，对PZT长度的归一化比较合理。因为此处PZT及对应结构局部的应变分布与结构长度无关。计算结果如下图，蓝色曲线表示胶层厚度为0.1mm，红色曲线表示胶层厚度为0.2mm。表明，胶层厚度增加，剪力传递效果减小。

式（12）中的 $\psi$ 即模量比与厚度比的乘积。The $\psi$ parameter sets the maximum fraction of the piezoelectric strain that can be induced in the substructure. 如果粘结层是理想情况，即 $\Gamma$ 无限大，应变将达到最大值（不是十分理解）。如果 $\psi$ 接近零，结构中的应变将等于压电应变 $\Lambda$ 。这种情况下，结构刚度很小或厚度很薄。相反，如果 $\psi$ 的值较大，对应较厚和高模量的结构，PZT引起的结构应变将较小。因此，理想的PZT驱动器参数为，大的 $\Gamma$ 值（良好的粘结层）和小的 $\psi$ 值（PZT刚度相对结构较大）。

理想粘结的驱动器即粘结层刚度无限大，剪力滞系数趋于无限大，这种情况下，在PZT端部存在着一个急速增大的剪应力，表明PZT和结构之间的应变通过PZT端部无限小的距离传递。这种理想情况下，式（13）和（14）化简为：

$\varepsilon_B = \varepsilon_C = \dfrac{\psi}{\psi+\alpha}\left[\dfrac{\varepsilon^{S+}_B + \varepsilon^{S-}_B}{2}+\dfrac{\varepsilon^{S+}_B-\varepsilon^{S-}_B}{2}\bar{x}\right]+\dfrac{\alpha}{\psi+\alpha}\Lambda$ （18）

当 $\Gamma$ 趋于无限大时，系数 $B_3$ 和 $B_4$ 趋于零，式（13）去掉后两项后简化为（18）。

全部的剪力在PZT端部的一个点上集中传递，在 $\bar{x} = \pm 1$ 处，该力为：

$\dfrac{F}{E_B t_B b} = \dfrac{1}{\psi + \alpha}\left[\dfrac{\varepsilon^{S+}_B + \varepsilon^{S-}_B}{2}+\dfrac{\varepsilon^{S+}_B-\varepsilon^{S-}_B}{2}\bar{x}\right]-\dfrac{1}{\psi+\alpha}\Lambda$ （19）

弯曲情况下，作用在梁上的力矩为

$M_0 = F t_B$ （20）

针对理想情况粘结的PZT，式（18-20）可通过以下两种方式得到：1、将式（13）中 $\Gamma$ 趋于无穷大，取该式极限；2、直接将式（1）和（2）中结构应变和PZT应变取等值，求解弹性方程。上述情况对于薄而刚的粘结层适用。对于 $\Gamma$ 值为30或更大，PZT引起的结构中的应变能为理想情况下PZT引起的结构中的应变能的5%以内。因此， $\Gamma$ 值大于30时，理想粘结模型（即式（18-20））可以得到足够精确解，对于较厚或刚度较小的粘结层，需要用式（13）和（14）来进行精确计算。

至此，表面粘贴式PZT驱动器分析完成。如上所述，如果 $\alpha = 2$ ，结构为伸缩变形， $\alpha =6$ 是为弯曲变形， $\alpha$ 越高，PZT驱动弯曲比伸缩更有效。

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March 9, 2012

Protected: （Piezo-09）一个简单的公式

Filed under: Study and Work — hitzws @ 6:30 PM

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March 2, 2012

Protected: （Piezo-08）Some useful info.

Filed under: Study and Work — hitzws @ 4:44 PM

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February 23, 2012

Protected: （Piezo-07）驱动器建模Actuator Modeling（2）

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February 20, 2012

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February 19, 2012

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February 18, 2012

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February 17, 2012

Protected: （Piezo-03）Piezoceramic厚度的影响

Filed under: Study and Work — hitzws @ 7:59 PM

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February 12, 2012

Protected: （SSI-04）矢量及矩阵的投影

Filed under: Study and Work — hitzws @ 8:28 PM

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February 11, 2012

Protected: （SSI-03）系统识别问题

Filed under: Study and Work — hitzws @ 5:03 PM

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February 2, 2012

Protected: （Piezo-02）Adhesive for bonding piezoelectric patch

Filed under: Study and Work — hitzws @ 12:08 PM

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Protected: （Piezo-01）胶层在PZT驱动Lamb波过程中的影响

Filed under: Study and Work — hitzws @ 12:10 AM

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January 31, 2012

（SSI-02）动力系统的状态空间模型

Filed under: Study and Work — hitzws @ 5:57 PM

线性系统的状态空间描述是建立在状态和状态空间概念的基础上的。完全地表征系统时间域行为的一个最小内部变量组称为动力学系统的状态，组成这个变量组的变量称为系统的状态变量，由状态变量组成列向量称为系统的状态向量，其取值的向量空间称为状态空间。
现假设状态向量为：
$Z(t)=\left( \begin{array}{rcl} X(t) \\ \dot{X}(t) \end{array} \right)$ （5）
可以将方程（1）与恒等式 $\dot{X}=I\dot{X}$ 一起可以转换为连续时间的状态空间方程：
$\left\{ \begin{array}{rcl}\dot{Z}(t)&=&A_cZ(t)+B_cF(t)\\Y(t)&=&C_cZ(t)+D_cF(t) \end{array} \right.$ （6）

式中 $A_c=\left( \begin{array}{cc} 0 & I\\-M^{-1}K & -M^{-1}C \end{array} \right)$ ， $B_c=\left( \begin{array}{cc} 0 \\M^{-1} \end{array} \right)$ 。
对动力系统（6）以 $1/\tau$ 的采样频率采样，可得到以下离散的系统状态空间模型：
$\left\{ \begin{array}{rcl} Z_{k+1} & = & AZ_k + BF_k+w_k \\ Y_k & = & CZ_k+DF_k+v_k \end{array} \right.$ （7）
该系统的状态和输出分别为：
$Z_k=\left( \begin{array}{rcl} X(k \tau) \\ \dot{X}(k \tau) \end{array} \right)~,~~ Y_k=Y(k \tau)$ （8）
式（7）中的离散状态矩阵A、离散输入矩阵B以及状态观测矩阵C，如下式：
$A=e^{A_c \tau}, B=(A-I)A_c^{-1}B_c$ （9）
设 $\lambda, \phi_\lambda$ 为状态矩阵F的特征值和特征向量。这样，式（2）所定义的系统模态参数可以从上述两个特征结构中计算得到，如下式所示：
$e^{\tau\mu}=\lambda~,~~ L \psi_\mu=\varphi_\lambda = H~\phi_\lambda$ （10）
系统的频率和阻尼比可由离散的特征值 $\lambda$ 得到：
频率 $=\dfrac{a}{2\pi\tau}$ ，阻尼 $=\dfrac{\left|b\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ （11）
式中 $a=\left|\mbox{arctan}\left[\Im(\lambda)/\Re(\lambda)\right]\right|$ ； $b=\mbox{ln}\lambda$ 。

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（SSI-01）连续的动力系统模型及其参数

Filed under: Study and Work — hitzws @ 5:53 PM

线性结构系统的动力行为可由下面的稳态线性动力系统方程描述：
$M\ddot{X}(t)+C\dot{X}(t)+KX(t)=F(t)~,~~ Y(t)=L_a\ddot{X}(t)+L_v\dot{X}(t)+L_dX(t)$ （1）
式中t为连续的时间；M、C和K为系统的质量、阻尼和刚度矩阵；X为系统所有自由度的位移向量；Y为有限测点（自由度）的结构响应向量； $L_a, L_v, L_d$ 分别表示表示加速度、速度和位移传感器的布设位置；F(t)为外部激励。通过向量 $L_a, L_v, L_d$ 可以得到有限测点的传感器输出。
方程（1）所对应的特征方程为：
$\textrm{det}(\mu^2 M + \mu C + K) = 0$ （2）
其特征值 $\mu$ 和特征向量 $\psi_\mu$ 为下述方程的解：
$(\mu^2 M + \mu C + K)~\psi_\mu = 0$ （3）
由此，动力系统的频率和阻尼系数可以通过连续的特征值 $\mu$ 由下式得到：
频率 $f=\dfrac{b}{2\pi}$ ，阻尼 $d=-\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ （4）
式中 $a=\Re(\mu),~b=\Im(\mu)$ 。
上述方程为在频域进行模态参数识别的基本方程，而在时域中进行参数识别时需采用状态空间的概念来描述动力系统，即将方程（1）转换为状态空间方程。