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January 31, 2012

(SSI-02)动力系统的状态空间模型

Filed under: Study and Work — hitzws @ 5:57 PM

线性系统的状态空间描述是建立在状态和状态空间概念的基础上的。完全地表征系统时间域行为的一个最小内部变量组称为动力学系统的状态,组成这个变量组的变量称为系统的状态变量,由状态变量组成列向量称为系统的状态向量,其取值的向量空间称为状态空间。
现假设状态向量为:
Z(t)=\left( \begin{array}{rcl} X(t)  \\ \dot{X}(t) \end{array} \right)(5)
可以将方程(1)与恒等式\dot{X}=I\dot{X} 一起可以转换为连续时间的状态空间方程:
\left\{ \begin{array}{rcl}\dot{Z}(t)&=&A_cZ(t)+B_cF(t)\\Y(t)&=&C_cZ(t)+D_cF(t) \end{array} \right.(6)

式中A_c=\left( \begin{array}{cc} 0 & I\\-M^{-1}K & -M^{-1}C \end{array} \right)B_c=\left( \begin{array}{cc} 0 \\M^{-1} \end{array} \right)
对动力系统(6)以1/\tau的采样频率采样,可得到以下离散的系统状态空间模型:
\left\{ \begin{array}{rcl} Z_{k+1} & = & AZ_k + BF_k+w_k  \\ Y_k & = & CZ_k+DF_k+v_k \end{array} \right.(7)
该系统的状态和输出分别为:
Z_k=\left( \begin{array}{rcl} X(k \tau)  \\ \dot{X}(k \tau) \end{array} \right)~,~~ Y_k=Y(k \tau)(8)
式(7)中的离散状态矩阵A、离散输入矩阵B以及状态观测矩阵C,如下式:
A=e^{A_c \tau}, B=(A-I)A_c^{-1}B_c(9)
\lambda, \phi_\lambda为状态矩阵F的特征值和特征向量。这样,式(2)所定义的系统模态参数可以从上述两个特征结构中计算得到,如下式所示:
e^{\tau\mu}=\lambda~,~~ L \psi_\mu=\varphi_\lambda = H~\phi_\lambda(10)
系统的频率和阻尼比可由离散的特征值\lambda得到:
频率=\dfrac{a}{2\pi\tau},阻尼=\dfrac{\left|b\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}(11)
式中a=\left|\mbox{arctan}\left[\Im(\lambda)/\Re(\lambda)\right]\right|b=\mbox{ln}\lambda

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(SSI-01)连续的动力系统模型及其参数

Filed under: Study and Work — hitzws @ 5:53 PM

线性结构系统的动力行为可由下面的稳态线性动力系统方程描述:
M\ddot{X}(t)+C\dot{X}(t)+KX(t)=F(t)~,~~ Y(t)=L_a\ddot{X}(t)+L_v\dot{X}(t)+L_dX(t)(1)
式中t为连续的时间;M、C和K为系统的质量、阻尼和刚度矩阵;X为系统所有自由度的位移向量;Y为有限测点(自由度)的结构响应向量;L_a, L_v, L_d分别表示表示加速度、速度和位移传感器的布设位置;F(t)为外部激励。通过向量L_a, L_v, L_d可以得到有限测点的传感器输出。
方程(1)所对应的特征方程为:
\textrm{det}(\mu^2 M + \mu C + K) = 0(2)
其特征值\mu和特征向量\psi_\mu为下述方程的解:
(\mu^2 M + \mu C + K)~\psi_\mu = 0(3)
由此,动力系统的频率和阻尼系数可以通过连续的特征值\mu由下式得到:
频率f=\dfrac{b}{2\pi},阻尼d=-\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}(4)
式中a=\Re(\mu),~b=\Im(\mu)
上述方程为在频域进行模态参数识别的基本方程,而在时域中进行参数识别时需采用状态空间的概念来描述动力系统,即将方程(1)转换为状态空间方程。

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