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March 18, 2012

(Piezo-10)考虑胶层的驱动器建模 – 表面粘贴情况

Filed under: Study and Work — hitzws @ 5:34 PM

如图所示,两个PZT片通过有限厚度的胶层粘结在一个弹性结构的上下表面,图中粗箭头的方向是引起PZT横向变形的电场方向。如果电场同时作用于两个PZT片,结构将发生伸缩变形,如果电场只作用于其中一个PZT片,结构会发生弯曲变形。

下面导出整个结构的控制方程。取图中微单元dx(虚线框中),假设胶层只受一维纯剪切作用,而PZT和结构只有纯伸缩方向的应变,那么应变-位移关系为:

\varepsilon_C = \dfrac{\mbox{d}u_C}{\mbox{d}x} = u^\prime_C(1)
\varepsilon^s_B = \dfrac{\mbox{d}u_B}{\mbox{d}x} = u^{s\prime}_B(2)
\gamma = \dfrac{u_C-u^s_B}{t_S}(3)

如果PZT的激励引起结构的弯曲,可假设结构中的应变为Bernoulli-Euler线性应变分布,如果PZT引起结构伸缩,相应可假设应变分布为均匀分布。这两种情况中,PZT端部应力为零,那么其沿厚度方向的应力也为均匀应力。由上述假设,虚线区域内微元体的平衡方程为:

\dfrac{\mbox{d}\sigma_C}{\mbox{d}x} - \dfrac{\tau}{t_C} = 0(4)
\dfrac{\mbox{d}\sigma^s_B}{\mbox{d}x} + \dfrac{\alpha\tau}{t_B} = 0(5)

注:式(4)实际由PZT微元体上的力平衡得到,式(5)实际由结构微元体上的力矩平衡得到。

式(5)中\alpha取值依赖于梁,即结构中的应变分布,如果纯拉伸,\alpha = 2,如果纯弯曲\alpha = 6。式(2)和(5)中的上角标s代表结构表面。

PZT的应力应变关系与材料的热应力相似,将热应变项用压电应变代替即可d_{31}V/t_c = \Lambda,即:

\sigma_C = E_C\left(\varepsilon_C - \dfrac{d_{31}V}{t_C}\right) = E_C(\varepsilon_C - \Lambda)(6)
式中d_{31}为压电常数。对于结构和胶层,其应力应变关系为:

\sigma^s_B = E_B\varepsilon^s_B(7)
\tau = G\gamma(8)

式(1)-(8) 是有8个未知量的8个控制方程,8个未知量分别为PZT、胶层和板的应力与应变,以及PZT和板的位移。将式(3)代入式(8),再代入式(4)和(5),再将(1)、(2)、(6)和(7)微分并带入最后可得到两个耦合的二阶微分方程,并能够进一步简化为一对解耦的四阶微分方程:

{\varepsilon^s_B}^{IV} - \Gamma^2 {\varepsilon^s_B}' = 0(9)
{\varepsilon_C}^{IV} - \Gamma^2 {\varepsilon^s_C}' = 0(10)
式中的微分是对于无量纲坐标\tilde{x}。同时,定义剪力滞系数和结构与PZT刚度比为:

\Gamma^2 = \dfrac{\bar{G}\theta_S}{\bar{t^2_S}}\left(\dfrac{\psi+\alpha}{\psi}\right)(11)
\psi = \dfrac{E_B t_B}{E_C t_C} = \bar{E}\theta_B(12)

式(10)推导过程如下:

将式(3)代入式(4)和(5):\sigma_C' - \frac{G(u_C - u_B)}{t_S t_C} = 0(a),\sigma_B' + \frac{\alpha G(u_C - u_B)}{t_S t_B} = 0(b)
对式(4)和(5)微分:\sigma_C'' - \frac{G(\varepsilon_C - \varepsilon_B)}{t_S t_C} = 0(c),\sigma_B'' + \frac{\alpha G(\varepsilon_C - \varepsilon_B)}{t_S t_B} = 0(d)
将(1)、(2)、(6)和(7)代入上两式中:E_C\varepsilon_C'' - \frac{G}{t_S t_C}\varepsilon_C + \frac{G}{t_S t_C}\varepsilon_B = 0(e), E_B\varepsilon_B'' + \frac{\alpha G}{t_S t_C}\varepsilon_C + \frac{G}{t_S t_C}\varepsilon_B = 0(f)
将上两式合并消去\varepsilon_B得到:\frac{t_C}{t_B}\alpha E_C \varepsilon_C'' + E_B \varepsilon_B'' = 0(g)
将式(e)再二次微分得到\varepsilon_B''的表达式\varepsilon_B'' = \varepsilon_C'' - \frac{E_C {\varepsilon_C}^{IV}t_S t_C}{G}(h)
将式(h)代入(g)中得到:\frac{t_C}{t_B}\alpha E_C \varepsilon_C'' + E_B \varepsilon_C'' - \frac{E_B E_C {\varepsilon_C}^{IV}t_S t_C}{G}= 0
\frac{E_B E_C t_S t_C}{G}{\varepsilon_C}^{IV} - (\frac{\alpha t_C E_C}{t_B} + E_B) \varepsilon_C' = 0
整理得到{\varepsilon_C}^{IV} - (\frac{\alpha G t_C E_C}{t_B t_S t_C E_B E_C} + \frac{G E_B t_B}{E_B E_C t_S t_C t_B})\varepsilon_C'' = 0
最终,将\varepsilon_C''的系数重新定义如式(11)和(12)所示,可以得到式(10);式(9)可以用类似的方法得到。

尽管四阶微分方程式(9)和(10)是解耦的,但是他们的解实际上仍以下面二阶微分等式的形式耦合。求解式(9)和(10)得到PZT和结构中的应变分布:

\varepsilon_C = B_1 + B_2\bar{x} + \dfrac{\psi}{\alpha}B_3\mbox{sinh}\Gamma\bar{x} - \dfrac{\psi}{\alpha}B_4\mbox{cosh}\Gamma\bar{x}
\varepsilon^S_B = B_1 + B_2\bar{x} + B_3\mbox{sinh}\Gamma\bar{x} + B_4\mbox{cosh}\Gamma\bar{x}
即:
\left[ \begin{array}{c} \varepsilon_C \\ \varepsilon^S_B \end{array}\right] = \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}\right]B_1 +\left[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}\right]B_2\bar{x} + \left[\begin{array}{c} \frac{\psi}{\alpha} \\ 1 \end{array}\right]B_3 \mbox{sinh}\Gamma\bar{x} + \left[\begin{array}{c} \dfrac{-\psi}{\alpha} \\ 1 \end{array}\right]B_4 \mbox{cosh}\Gamma\bar{x} (13)

式(9)和(10)形式的四阶微分方程的解法:其特征方程为z^4 - \Gamma^2 z^2 = 0,特征方程的解为:z_1 = 0, z_2 = 0, z_3 = \Gamma, z_4 = -\Gamma。于是,微分方程的解为:x = C_1 + C_2 x + C_3 e^{\Gamma x} + C_4 e^{-\Gamma x},式(13)应该由上述解法得到。然后就是利用边界条件来得到四个未知系数。【Matlab的微分方程解法:syms L, D1 = dsolve(‘D4y – L^2*D2y = 0’)】

可以用四个应变的边界条件来确定四个未知量。需要指出的是压电应变项\Lambda没有出现在式(13)中,但通过边界条件可以出现在解中。粘贴在结构上的一段PZT两端的应力为零,亦即\varepsilon_C = \Lambda,而在PZT端部对应的结构的点上的应变不为零,为一任意大小的非零应变。在以上假设下,边界条件为:

\bar{x} = +1: \varepsilon_C = \Lambda,~~\varepsilon^S_B = \varepsilon^{s+}_B
\bar{x} = -1: \varepsilon_C = \Lambda,~~\varepsilon^S_B = \varepsilon^{s-}_B
上式中\varepsilon^{s+}_B\varepsilon^{s-}_B为在PZT左端和右端部的已知的结构应变值。

将上述边界条件代入式(13)得到未知的常数如下:

B_1 = \dfrac{\psi}{\psi+\alpha}(\dfrac{\varepsilon^{s+}_B + \varepsilon^{s-}_B}{2} + \dfrac{\alpha\Lambda}{\psi})(14a)
B_2 = \dfrac{\psi}{\psi+\alpha}(\dfrac{\varepsilon^{s+}_B - \varepsilon^{s-}_B}{2})(14b)
B_3 = \dfrac{\alpha}{(\psi+\alpha)\mbox{sinh}\Lambda}(\dfrac{\varepsilon^{s+}_B - \varepsilon^{s-}_B}{2})(14c)
B_4 = \dfrac{\alpha}{(\psi+\alpha)\mbox{cosh}\Lambda}(\dfrac{\varepsilon^{s+}_B + \varepsilon^{s-}_B}{2} - \Lambda)(14d)

式(14c)有误,分母应为:(\psi-\alpha)

为方便将此部分静力模型与后续的动力模型合并,最理想的办法是得到PZT作用到结构上的力的显式表达式。因此,将式(13)和(14)代入式(1)和(2)得到u_C'{u^S_B}^{''}的表达式,积分后代入式(3),然后再代入式(8)得到:

\dfrac{\tau}{E_B} = \dfrac{\bar{G}}{\bar{t_S}\bar{E}\Gamma}\left[\dfrac{\varepsilon^{S+}_B - \varepsilon^{S-}_B}{2}\dfrac{\mbox{cosh}\Gamma\bar{x}}{\mbox{sinh}\Gamma}+(\dfrac{\varepsilon^{S+}_B + \varepsilon^{S-}_B}{2}-\Lambda)\dfrac{\mbox{sinh}\Gamma\bar{x}}{\mbox{cosh}\Gamma}\right](15)

至此,得到了PZT和板上应变的解,以及胶层中应力的解。可以看出,上述应变值[式(13)和(14)]和应力值[式(15)]依赖于结构在PZT边缘处的应变(\varepsilon^{S+}_B\varepsilon^{S-}_B)以及施加在PZT上的电压(\Lambda = d_{31}V/t_C)。依赖于\varepsilon^{S+}_B\varepsilon^{S-}_B的项仅代表通过粘结层所施加的被动刚度,可以通过常规分析建模。而新的影响,应变的能力或主动施加应力到结构上,被依赖于\Lambda的项所代表。为了更清晰的图示上述的分析结果,将应变边界条件\varepsilon^{S+}_B\varepsilon^{S-}_B设为零,式(13)和(15)简化为:

\left[\begin{array}{c} \dfrac{\varepsilon_C}{\Lambda} \\ \dfrac{\varepsilon^S_B}{\Lambda}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} 1\\1 \end{array}\right]\dfrac{\alpha}{\psi+\alpha} - \left[\begin{array}{c}\dfrac{-\psi}{\alpha} \\1 \end{array}\right]\dfrac{\alpha}{(\psi+\alpha)\mbox{cosh}\Gamma}\mbox{cosh}\Gamma\bar{x}(16)
\dfrac{\tau}{E_B} = \dfrac{-\bar{G}}{\bar{t_S}\bar{E}\Gamma}(\dfrac{\mbox{sinh}\Gamma\bar{x}}{\mbox{cosh}\Gamma})\Lambda(17)

针对不同的\Gamma值,\psi取值14.5,\alpha取值6(上述值表示铝板厚为PZT的10倍,并且是板为弯曲变形),将式(16)的计算结果绘于图中。式(11)中的\Gamma是无量纲剪力滞参数,表示剪力传递的效率,主要受粘结层的刚度和厚度影响。随着粘结层剪切模量G的增加或粘结层厚度的减小而增大,剪力滞效应重要性降低,剪力有效地传递给靠近PZT端部的更小区域。【意思是,粘结层刚度越大或厚度越小,剪力传递约有效,PZT端部的小片区域也易受到影响。】

注:在上述计算中,\Gamma受三种材料的厚度与刚度的影响,在式(11)中的参数\bar{t}_S据文中说是对结构长度的归一化,此处可能有误,根据计算分析结果表明,对PZT长度的归一化比较合理。因为此处PZT及对应结构局部的应变分布与结构长度无关。计算结果如下图,蓝色曲线表示胶层厚度为0.1mm,红色曲线表示胶层厚度为0.2mm。表明,胶层厚度增加,剪力传递效果减小。

式(12)中的\psi即模量比与厚度比的乘积。The \psi parameter sets the maximum fraction of the piezoelectric strain that can be induced in the substructure. 如果粘结层是理想情况,即\Gamma无限大,应变将达到最大值(不是十分理解)。如果\psi接近零,结构中的应变将等于压电应变\Lambda。这种情况下,结构刚度很小或厚度很薄。相反,如果\psi的值较大,对应较厚和高模量的结构,PZT引起的结构应变将较小。因此,理想的PZT驱动器参数为,大的\Gamma值(良好的粘结层)和小的\psi值(PZT刚度相对结构较大)。

理想粘结的驱动器即粘结层刚度无限大,剪力滞系数趋于无限大,这种情况下,在PZT端部存在着一个急速增大的剪应力,表明PZT和结构之间的应变通过PZT端部无限小的距离传递。这种理想情况下,式(13)和(14)化简为:

\varepsilon_B = \varepsilon_C = \dfrac{\psi}{\psi+\alpha}\left[\dfrac{\varepsilon^{S+}_B + \varepsilon^{S-}_B}{2}+\dfrac{\varepsilon^{S+}_B-\varepsilon^{S-}_B}{2}\bar{x}\right]+\dfrac{\alpha}{\psi+\alpha}\Lambda(18)

\Gamma趋于无限大时,系数B_3B_4趋于零,式(13)去掉后两项后简化为(18)。

全部的剪力在PZT端部的一个点上集中传递,在\bar{x} = \pm 1处,该力为:

\dfrac{F}{E_B t_B b} = \dfrac{1}{\psi + \alpha}\left[\dfrac{\varepsilon^{S+}_B + \varepsilon^{S-}_B}{2}+\dfrac{\varepsilon^{S+}_B-\varepsilon^{S-}_B}{2}\bar{x}\right]-\dfrac{1}{\psi+\alpha}\Lambda(19)

弯曲情况下,作用在梁上的力矩为

M_0 = F t_B(20)

针对理想情况粘结的PZT,式(18-20)可通过以下两种方式得到:1、将式(13)中\Gamma趋于无穷大,取该式极限;2、直接将式(1)和(2)中结构应变和PZT应变取等值,求解弹性方程。上述情况对于薄而刚的粘结层适用。对于\Gamma值为30或更大,PZT引起的结构中的应变能为理想情况下PZT引起的结构中的应变能的5%以内。因此,\Gamma值大于30时,理想粘结模型(即式(18-20))可以得到足够精确解,对于较厚或刚度较小的粘结层,需要用式(13)和(14)来进行精确计算。

至此,表面粘贴式PZT驱动器分析完成。如上所述,如果\alpha = 2,结构为伸缩变形,\alpha =6是为弯曲变形,\alpha越高,PZT驱动弯曲比伸缩更有效。

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