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March 21, 2012

(Piezo-11)考虑胶层的驱动器建模 – 嵌入式

Filed under: Study and Work — hitzws @ 7:15 PM

目前所用的环氧树脂基复合材料,层间粘结层大约为5个纤维直径的量级,约1\mu m,对应的\Gamma值大约为1000左右,这样粘结层的影响完全可以忽略,因此,可以假设驱动器完美结合于材料内部,驱动器应变与外部结构相吻合。根据施加电场的方向的不同,驱动器可引起结构伸缩或弯曲变形,下面详细推导弯曲情况,伸缩情况概述。

在以下分析中,驱动器和周围结构仍假设为Bernoulli-Euler弯曲模型,与前述表面粘贴式不同,这种情况下,PZT上下表面的应变均与外部结构一致,因此,PZT内部的应变是线性变化的。在此假设下,平衡方程为:

\sigma_B = \dfrac{M_0 z}{I_{EQ}} + \dfrac{M_K z}{I_{EQ}}(21)
\sigma_C = \dfrac{6\Delta F}{bt^2_C}(z-z_M)+\dfrac{\bar{F}}{b t_C}(22)

式中M_K是由于荷载或变形导致的纵向变化的弯矩,而不是PZT引起的。\bar{F} = (F_1 + F_2)\Delta F = (F_1 - F_2)分别为施加在PZT内外端部集中点上的荷载之和和差。

式(21)是已知弯矩计算结构应力的基本公式。式(22)的计算可以将作用在PZT上的F1和F2分解为三个分力,一是上下均有F1方向向外,对称作用在PZT两端,二是上下均有\Delta F/2方向向外,作用在PZT两端,三是上面有\Delta F/2方向向外,而下面方向向内,作用在PZT两端。这样,一和二的为纯拉伸,引起的应力合在一起为\frac{\bar{F}}{bt_C};三为纯弯曲,截面内力只有弯矩,引起的应力为\frac{6\Delta F}{bt^2_C}(z-z_M),两者相加即为式(22)。

M_0为PZT施加在结构上的弯矩,等于

M_0 = 2\left[\Delta F \dfrac{t_C}{2} + \bar{F}z_M\right](23)

假设层合结构类似于具有有效弯曲模量E_B的梁,其应力应变关系与式(6)和(7)中给出的相同。让内表面z = (z_M - t_C/2)和外表面z = (z_M + t_C/2)处结构与PZT应变相等,代入应力应变关系式(6)和(7)中,平衡方程(21-23)给出了\bar{F}\Delta F的表达式

\bar{F} = \dfrac{-12(M_k/t_C)\theta_z}{24\theta^2_Z + \psi \theta^2_B \bar{I} +2} - \dfrac{2E_C t_C b + E_B t_B b \theta^2_B \bar{I}}{24\theta^2_B + \psi\theta^2_B\bar{I}+2}\Lambda(24)
\Delta F = \dfrac{-2(M_k/t_C)}{24\theta^2_Z + \psi \theta^2_B \bar{I} +2} + \dfrac{4E_C t_C b \theta_z}{24\theta^2_B + \psi\theta^2_B\bar{I}+2}\Lambda(25)

上述两式可代回前面的平衡方程并求解得到应变。

与表面粘贴式类似,为了将嵌入式驱动器模型与结构变形相耦合,纵向变化的弯矩M_k可以表达为应变\varepsilon^{S+}_B\varepsilon^{S-}_B的函数:

M_k = \dfrac{-I_{EQ}E_B}{t_B}(\varepsilon^{S+}_B + \varepsilon^{S-}_B) - \dfrac{I_{EQ}E_B}{t_B}(\varepsilon^{S+}_B - \varepsilon^{S-}_B)\bar{x}(26)

将式(24-26)代入梁的平衡方程式(21)中,再代入应力应变关系式(7),在驱动器和周围材料上的应变为:

\varepsilon_B = \varepsilon_C = \dfrac{2\psi\theta_B\bar{I}(z/t_C)}{24\theta^2_Z + \psi \theta^2_B \bar{I} +2}(\dfrac{\varepsilon^{S+}_B + \varepsilon^{S-}_B}{2} + \dfrac{\varepsilon^{S+}_B 2 \varepsilon^{S-}_B}{2}\bar{x}) + \dfrac{24\theta_z(z/t_C)}{24\theta^2_z + \psi\theta^2_B\bar{I}+2}\Lambda(27)

将式(24-26)代入(23)可得到施加在PZT端部的弯矩:

\dfrac{M_0}{E_B t^2_B b} = \dfrac{(12\theta^2_z+1)\bar{I}}{3(24\theta^2_Z + \psi \theta^2_B \bar{I} +2)}(\dfrac{\varepsilon^{S+}_B + \varepsilon^{S-}_B}{2} + \dfrac{\varepsilon^{S+}_B 2 \varepsilon^{S-}_B}{2}\bar{x}) - \dfrac{2\theta_z\theta_B\bar{I}}{24\theta^2_z + \psi\theta^2_B\bar{I}+2}\Lambda(28)

应变与弯矩的结果与表面粘贴式类似,有些项依赖于边界条件处的结构的应变,有些项依赖于施加在PZT上的电压。

对于拉伸的情况,可以进行类似的分析,最终应变为:

\varepsilon_C = \varepsilon_B = \dfrac{\bar{E}(\theta_B - 2)}{2 + \bar{E}(\theta_B - 2)}(\dfrac{\varepsilon^+_B + \varepsilon^-_B}{2} + \dfrac{\varepsilon^+_B - \varepsilon^-_B}{2}\bar{x}) + \dfrac{2}{2 + \bar{E}(\theta_B - 2)}\Lambda

在PZT两端的力为:

\dfrac{F}{E_B t_B b} = \dfrac{-(\theta_B - 2)}{2\theta_B + \bar{E}(\theta_B - 2)\theta_B}(\dfrac{\varepsilon^+_B + \varepsilon^-_B}{2} + \dfrac{\varepsilon^+_B - \varepsilon^-_B}{2}\bar{x}) - \dfrac{(\theta_B - 2)}{2\theta_B + \bar{E}(\theta_B - 2)\theta_B}\Lambda

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